C 语言中涉及的运算

  1. 按位运算：或运算（｜）、与运算（&）、取反运算（～）、异或运算（^）
  2. 逻辑运算：或运算（||）、与运算（&&）、非运算（！）
  3. 移位运算：
    • 逻辑移位
    • 算术移位：右移高位补符号
  4. 位扩展和位截断运算
    • 0 扩展
    • 符号扩展

带标志加法器

  • 溢出标志 OF(Overflow Flag) : OF = Cn ⊕ Cn-1
  • 符号标志 SF(Sign Flag) : SF = Fn-1
  • 零号标志 ZF(Zero Flag) ：ZF = 1，当且仅当 F = 0
  • 进位/借位标志 CF(Carry Flag) ：CF = Cout ⊕ Cin

定点数运算

无符号数和补码加减法运算

Compound addition

Y 即 Y 各位取反

CF = Cin ⊕ Cout，CF 对于补码加减法运算无实际意义

  • 无符号数(X 和 Y 就是 x 和 y 的二进制表示)
    • 加法 : X + Y, Cin = 0
    • 减法 : X + Y + 1, Cin = 1
  • 补码(X 和 Y 就是 x 和 y 的补码表示)
    • 加法 : X + Y, Cin = 0
    • 减法 : X + Y + 1, Cin = 1

原码乘法运算

原码一位乘法

Unsigned multiplication Unsigned multiplication

补码乘法运算

Two’s complement multiplication Two’s complement multiplication

布斯（Booth）乘法推导（补码乘法的核心思想）

A. D. Booth 提出了一种补码相乘算法：符号位与数值位合在一起参与运算，正数与负数同等对待，直接得到补码形式的乘积，称为布斯（Booth）乘法。下面以 n 位补码定点整数来说明其推导思路。

  • 设两个 n 位补码定点整数： [x]补 = Xn-1 Xn-2 … X1 X0
    [y]补 = Yn-1 Yn-2 … Y1 Y0
    根据补码定义，乘数 y 的真值可写成：
    y = -Yn-1 · 2n-1 + Σi=0n-2 Yi · 2i

  • 将 y 改写为“相邻两位之差”的形式（这是 Booth 算法的关键）： 利用 Yi · 2i = Yi · 2i+1 - Yi · 2i，并令 Y-1 = 0（在最低位右侧附加一位 0），可推得：
    y = Σi=0n-1 (Yi-1 - Yi) · 2i
    直观含义：当 Yi 与 Yi-1 相同（00 或 11）时，该位对系数为 0；当出现跳变时，系数为 +1（01 跳变）或 -1（10 跳变）。

  • 因而乘积可写成： x × y = Σi=0n-1 (Yi-1 - Yi) · x · 2i
    这说明：只要判断乘数中每一位 Yi 与其低一位 Yi-1 的关系，就能决定在第 i 步对部分积是“加 x”、“减 x”还是“加 0”，再配合移位完成累加。

  • 递推规则与 Booth 判别式： 由 (Yi, Yi-1) 决定本步加/减操作：

    (Yi, Yi-1)Yi-1 - Yi操作含义
    01+1+[x]补遇到 0→1 跳变（连续 1 串开始）
    10-1+[-x]补遇到 1→0 跳变（连续 1 串结束）
    000+0仍在 0 区间
    110+0仍在连续 1 串内部

  • 实现层面的操作步骤： 设初始部分积 [P0]补 = 0，附加位 Y-1 = 0。循环 n 次（i = 0, 1, …, n-1）：

    1. 判断与加减：根据 (Yi, Yi-1) 的状态，部分积加上 [x]补、加上 [-x]补 或加 0。
    2. 移位：将（部分积、乘数 y、附加位 Y-1）作为一个整体，进行算术右移 1 位。

以上推导展示了 Booth 乘法“把连续的 1 串压缩为两次边界操作（加 x 与减 x）”的本质，不仅减少了实际的加法次数，且天然适配补码的符号扩展与算术移位运算。

原码除法运算

符号位单独运算 定点整数，被除数扩展高位添加 0；定点小数，被除数扩展低位添加 0 Qn = 1 时，定点整数除法和定点小数除法均溢出，浮点数除外（可右规） Division

恢复余数除法

Division Division

不恢复余数除法

Division NoReset Division NoReset

补码除法运算

被除数需要进行符号扩展 Division Two’s complement rules

恢复余数除法

若被除数与除数同号，则 Q 中是真正的商；否则，将 Q 中的数值求补后作为真正的商 Division Two’s complement division with reset

不恢复余数除法

商的修正：最后一次 Q 寄存器左移一位，将最高位 Qn 移出，并在最低位置上商 Q0 余数的修正：若余数符号同被除数符号，则不需修正，余数在 R 中；否则，按下列规定进行修正：当被除数和除数符号相同时，最后余数加除数；否则，最后余数减除数

Division Two’s complement division with no reset

浮点数运算的精度和舍入

保护位 G（警戒位）：紧跟在有效位后面的第 1 位 舍入位 R ：紧跟在有效位后面的第 2 位 粘位 S ：后面所有位的“或”结果，即舍入右边只要有 1，粘位则置为 1

  1. 就近舍入到偶数
舍入规则：  
G=0 → 不进位  
G=1 且（R=1 或 S=1）→ 进位  
G=1 且 R=0 且 S=0 → 向偶数舍入
  1. 朝 +∞ 方向舍入
  2. 朝 -∞ 方向舍入
  3. 朝 0 方向舍入 Result rounding